¿Cuál es el valor de log (-2)?

Es curioso cómo cada respuesta aquí simplemente etiqueta log (−2) [math] log⁡ (−2) [/ math] como indefinido.

Permítame decirle algo, no está definido solo mientras hablemos de la función de registro como una función real a real, es decir, una función que puede tomar / producir solo entradas / salidas reales.

Y esto tiene sentido, porque esencialmente, log (−2) [math] log⁡ (−2) [/ math] nos pide que encontremos un número real y [math] y [/ math] tal que ey = −2 [ matemáticas] ey = −2 [/ matemáticas].

¡Sabemos que tal “y [matemática] y [/ matemática]” no existe!

Pero, ¿qué pasa si eliminamos la restricción de que “y [matemáticas] y [/ matemáticas]” sea real?

Recuerde que eix = cosx + isinx [matemática] eix = cos⁡x + isin⁡x [/ matemática] ( fórmula de Euler )

Ahora ponga x = (2n + 1) π [matemática] x = (2n + 1) π [/ matemática] (donde “n [matemática] n [/ matemática]” es cualquier número entero) en la ecuación anterior [matemática] ecuación [/matemáticas]

Eso te da: ei (2n + 1) π = −1 [matemáticas] ei (2n + 1) π = −1 [/ matemáticas]

⇒log (−1) = i (2n + 1) π [matemática] ⇒log⁡ (−1) = i (2n + 1) π [/ matemática]

Ahora agregue “log (2) [math] log⁡ (2) [/ math]” en ambos lados:

⇒log (2) + log (−1) = log (2) + i (2n + 1) π [matemáticas] ⇒log⁡ (2) + log⁡ (−1) = log⁡ (2) + i (2n +1) π [/ matemáticas]

⇒log (−2) = log (2) + i (2n + 1) π [matemática] ⇒log⁡ (−2) = log⁡ (2) + i (2n + 1) π [/ matemática]

Como puede ver, la expresión anterior tiene infinitos valores, porque “n [matemática] n [/ matemática]” puede ser cualquier número entero.

¡Y esta es parte de la razón por la cual los registros de números negativos no están definidos, porque los registros negativos tienen varios valores y, por definición, una función no puede devolver múltiples valores para una entrada en particular!

Pero incluso esto tiene una solución: ¡valores principales!

Simplemente ponga “n = 0 [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas]” y defínalo como el valor estándar de log (−2) [matemáticas] log⁡ (−2) [/ matemáticas], que los matemáticos llaman “el valor principal”.

Entonces el valor (principal) de log (−2) [math] log⁡ (−2) [/ math] es:

log (2) + i (2 ∗ 0 + 1) π [matemática] log⁡ (2) + i (2 ∗ 0 + 1) π [/ matemática]

= log (2) + iπ [matemática] = log⁡ (2) + iπ [/ matemática]

cual es tu respuesta!

PD: Si no me cree, puede simplemente conectar “log (-2)” en Wolfram | Alpha (el motor computacional más confiable en línea). ¡Dará el mismo resultado!

Cada función tiene su RANGO definido (valor mínimo a valor máximo) y DOMINIO (los valores para los que está definido). Sea Y = F (x) una función, entonces RANGE es (Ymin a Ymax) y Domain es un conjunto de valores de x. Aquí, Y = log (-2); valor de x = -2, que no existe en el dominio de la función Y = log (x); Porque log (o función logarítmica) tiene DOMAIN R +; lo que significa que solo se define para los valores de TODOS LOS NÚMEROS POSITIVOS REALES. entonces el valor de log (-2) NO ES DEFINIDO ni INDEFINIDO.

Se debe saber que la función Logaritmos se define solo para números reales positivos en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Entonces [math] \ log (-2) [/ math] no está definido en [math] \ mathbb {R} [/ math].

En el análisis complejo, [math] \ log [/ math] se define para cualquier número complejo, [math] x + iy = re ^ {i \ theta} [/ math] en [math] \ mathbb {C} [/ math ] y su solución general se da de la siguiente manera

[matemáticas] \ log (x + iy) = \ log (re ^ {i \ theta}) = \ log (re ^ {i (2k \ pi + \ theta)}) = \ log (r) + \ log (e ^ {i (2k \ pi + \ theta)}) [/ math]

[matemáticas] = \ log (r) + i (2k \ pi + \ theta) [/ matemáticas]

Donde, [math] x, y \ in \ mathbb {R} [/ math], [math] r [/ math] es magnitud , [math] \ theta [/ math] es el argumento principal y [math] k [/ matemáticas] es cualquier número entero

NOTA: Este caso es válido para cualquier número real, imaginario o complejo ya que, en general, cualquier número puede expresarse en forma polar [math] \ mathbb {re ^ {i \ theta}} [/ math] .

Ahora, dado que [math] -2 [/ math] no es un número real positivo, por lo tanto, su registro será un número complejo en [math] \ mathbb {C} [/ math]. Por lo tanto, escribir [matemáticas] -2 [/ matemáticas] en forma polar como [matemáticas] -2 = 2e ^ {i \ pi} [/ matemáticas]

La solución general:

[matemáticas] \ log (-2) = \ log (2e ^ {i \ pi}) = \ log (2e ^ {i (2k \ pi + \ pi)}) = \ log 2+ \ log e ^ {i ( 2k + 1) \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ log 2 + i (2k + 1) \ pi [/ matemáticas]

[math] \ color {red} {\ log (-2) = \ log 2 + i \ pi} [/ math] es una solución principal para [math] k = 0 [/ math]

[math] \ log [/ math] no está definido para números negativos. Entonces no hay respuesta.

Sin embargo, existe una función [math] \ Log [/ math] que no estaba allí en la pregunta del OP, por lo que no escribí al respecto.

Puede pensar que ese valor es [math] \ Ln 2 + \ pi i [/ math] que puede ser cualquier cosa [math] (4k + 1) \ pi i [/ math] para todos los enteros k.

puedes escribir ‘-2’ de la siguiente manera

[matemáticas] -2 = 2 * e ^ (i * pie) [/ matemáticas]

y así [matemáticas] log (-2) = log (2) + i * pie. [/matemáticas]

Relajarse !

Podemos poner

[matemáticas] -2 = 2 e ^ (iπ) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

log (-2) = log (2) + iπ

Logof -2 no está definido. En log simple se define solo para números positivos

No es posible ya que el registro del número negativo no existe

No es posible porque la x negativa no está incluida en el dominio de la función de registro

No definida,

porque la función Log x no está definida en el no real negativo.

Indefinido ya que el registro no está hecho para números negativos

El registro no está definido para-have nos